2.6. LA ECUACIÓN X 2 = A
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5. Sean a, b ∈ N, verifique que
a) Si
a
b
b) Si 5 <
2
< 5, entonces 5 <
a
b
2
, entonces
a + 5b
a+b
a + 5b
a+b
2
.
2
< 5.
c) Sea
A = {r ∈ Q : 0 < r y r 2 < 5}
B = {r ∈ Q : 0 < r y r 2 < 5}.
Muestre que A es acotado superiormente pero no tiene máximo. Muestre que B
es acotado inferiormente pero no tiene mínimo.
6. Muestre que Z satisface P13, es decir, si A ⊆ Z no es vacío y es acotado superiormente,
entonces el supremo de A pertenece a Z.
2.6.
La ecuación x2 = a
Hemos visto que la ecuación
x2 = 2
no tiene solución en Q. Ahora mostremos que sí la tiene en R, en otras palabras, existe un
√
número real, que se denota por 2, tal que
√
( 2)2 = 2.
La prueba de este hecho que, por ser tan conocido, parecería simple de mostrar, no lo es del
todo. Primero mostraremos un resultado auxiliar (se acostumbra a llamar lema a este tipo
de resultados auxiliares).
Lema 2.23. Sea r un real tal que 0 < r < 1. Entonces se cumple que
(1 + r)2 < 1 + 3r.
Demostración: Como 0 < r < 1, entonces multiplicando por r la segunda desigualdad obtenemos que r2 < r. Por otra parte, tenemos que (1 + r)2 = 1 + 2r + r 2 . Por lo tanto,
(1 + r)2 = 1 + 2r + r 2 < 1 + 2r + r = 1 + 3r.
2
Teorema 2.24. Dado un real a > 0, existe un número real b > 0 tal que b2 = a.
Demostración: Consideremos el conjunto
A = {x ∈ R : x ≥ 0, x2 ≤ a}.