CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Ejercicios 2.5
1. En cada uno de los ejercicios que siguen muestre que existe un natural n con la
propiedad indicada.
a) (r − 1/n)2 > 3 donde r es un racional positivo tal que r 2 > 3.
b) (r + 1/n)2 < 7 donde r es un racional positivo tal que r 2 < 7.
c) (r + 1/n)3 < 2 donde r es un racional positivo tal que r 3 < 2.
d ) (r − 1/n)4 > 3 donde r es un racional positivo tal que r 4 > 3.
2.
a) Sea r ∈ Q, con r > 0 y r 2 < 2. Considere el racional
t=
4r
·
+2
r2
Muestre que r < t y t2 < 2
b) Sea r > 0 con 2 < r 2 . Considere el racional
t=
r2 + 2
·
2r
Muestre que t < r y 2 < t2 .
3. En este ejercicio daremos otra prueba de la proposición 2.22. Sean a, b ∈ N. Muestre
que
(i) Si
a
b
2
(ii) Si 2 <
(iii) Si
a
b
< 2, entonces 2 <
a
b
2
2
, entonces
< 2, entonces
a
(iv) Si 2 <
b
2
a + 2b
a+b
3a + 4b
2a + 3b
, entonces 2 <
2
a + 2b
a+b
.
2
< 2.
2
< 2 y además
3a + 4b
2a + 3b
2
y además
a
3a + 4b
<
.
b
2a + 3b
3a + 4b
a
< .
2a + 3b
b
4. Considere los conjuntos
A = {r ∈ Q : 0 < r y r 2 < 2}
B = {s ∈ Q : 0 < s y s2 > 2}
(i) Muestre que A no tiene máximo y que B no tiene mínimo.
(ii) Muestre que para todo r ∈ A y todo s ∈ B, r < s.