2.5. INCOMPLETITUD DE Q
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Por lo anterior, el problema se reduce a conseguir un natural n tal que r 2 +
Y esto es sencillo. En efecto, “despejamos n” para obtener que
r2 +
2r+1
n
< 2.
2r + 1
2r + 1
< 2 ⇐⇒ n >
.
n
2 − r2
De lo anterior se deduce lo siguiente:
2r + 1
, entonces
Si n >
2 − r2
1
r+
n
2
< 2.
Sólo resta garantizar que existe un natural n tal que n > 2r+1 . En efecto, como N no es
2−r 2
acotado en R (ver el teorema 2.15) sabemos que existe un natural n con esa propiedad,
es decir, n > 2r+1 . Y con esto concluye la demostración.
2−r 2
(ii) Sea r un racional positivo tal que r 2 > 2. Buscamos un racional positivo t que cumpla
que t < r y además que t2 > 2. Como hicimos en el apartado anterior, los candidatos
para t serán los racionales de la forma r − 1/n con n ∈ N. El problema entonces se
convierte en encontrar un natural n tal que
1
r−
n
Notemos que
2
> 2.
2
1
2r
1
2r
r−
+ 2 ≥ r2 − .
= r2 −
n
n
n
n
Así que es suficiente conseguir un natural n tal que
2r
>2
n
De la misma manera que hicimos en el apartado anterior, despejando n se obtiene que
es suficiente que n satisfaga lo siguiente
r2 −
n>
2r
·
−2
r2
(2.2)
Como queremos un racional positivo, es decir, queremos que r − 1/n sea positivo,
buscaremos un natural n tal que
1
n> ·
(2.3)
r
Veamos que en efecto es así. De la proposición 1.31 se concluye que existe un natural
n que cumple ambas condiciones (2.3) y (2.2) (¿por qué?). En particular, a partir de
(2.2) se concluye que
r2 − 2r/n > 2,
de donde
r−
Y esto es lo que queríamos.
1
n
2
= r2 −
2r
1
2r
+ 2 > r2 −
> 2.
n
n
n