CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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En particular, esto indica que A es acotado superiormente (pues todo elemento de B es
una cota superior de A). Como A no es vacío (¿por qué?), el axioma de completitud garantiza
que A tiene supremo. Sin embargo, veremos enseguida que el supremo de A no es racional
y por consiguiente el axioma de completitud no es válido en Q. En efecto, sea r el supremo
de A. Supongamos, por reducción al absurdo, que r es racional. Como ya demostramos en
la proposición 2.6, r 2 = 2. Por lo tanto hay dos casos a considerar:
(i) Supongamos que r 2 < 2. Entonces de la proposición 2.22 se tiene que existe otro
racional t tal que r < t y t2 < 2. En particular, t ∈ A y esto contradice que r es una cota
superior de A.
(ii) Supongamos que 2 < r 2 . Entonces de la proposición 2.22 se tiene que existe otro
racional t tal que 0 < t < r y 2 < t2 . En particular, t ∈ B y ya vimos que esto implica que t
es una cota superior de A. Pero esto contradice que r es la menor de las cotas superiores de
A.
La interpretación geométrica de lo que acabamos de mostrar es que existe un “hueco”
√
entre A y B. Ese “hueco” lo ocupa el número real 2. Por esta razón se dice que el orden de
Q es incompleto.
El axioma del supremo es la propiedad mas importante que distingue a R de Q. Podemos
también decir que las propiedades P1,. . . , P12 no sirven para diferenciar a Q de R, pues los
números racionales satisfacen todas ellas.
Demostración de 2.22:
(i) Sea r un racional positivo tal que r 2 < 2. Buscamos un racional t que cumpla que
r < t y además que t2 < 2. Los candidatos de donde escoger t serán los racionales de la
forma r + 1/n con n ∈ N. El problema entonces se convierte en encontrar un natural
n tal que
1
r+
n
2
(2.1)
<2
Lo primero que haremos es analizar la desigualdad 2.1. Observemos que para todo
natural n positivo se cumple lo siguiente:
1
r+
n
2
= r2 +
2r
1
2r 1
2r + 1
+ 2 ≤ r2 +
+
= r2 +
.
n
n
n
n
n
pues 1/n2 ≤ 1/n. De esto se deduce lo siguiente:
Si r2 +
2r+1
n
< 2, entonces r +
1 2
n
< 2.