2.5. INCOMPLETITUD DE Q
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2. Para cada x ∈ R considere el siguiente conjunto
A(x) =
2n + x
: n∈N
6n + 8
Muestre que 2/6 es el supremo de A(x) cuando x = 1 y es el ínfimo cuando x = 7.
Determine que valores puede tomar x de tal forma que 2/6 sea el supremo de A(x).
3. Sean x, y, z ∈ R tales que x < y < z. Muestre que existe n ∈ N tal que
4. Dados x, y ∈ R con x < y, muestre que existe n ∈ N tal que x +
1
n
1
n
<
y−x
.
z−x
< y.
5. Sean x, y ∈ R tales que x + y ≥ 0. Suponga que para todo natural n ≥ 1 se cumple
1
que x ≤ n − y. Muestre que x = −y.
6. Sea A ⊆ R acotado superiormente y c una cota superior de A. Muestre que las siguientes
afirmaciones son equivalentes:
(i) c es el supremo de A.
(ii) Para todo r > 0 existe x ∈ A tal que c − r < x ≤ c.
(iii) Para todo n ∈ N existe x ∈ A tal que c −
1
n
< x.
7. Muestre que los teoremas 2.15, 2.16 y 2.17 son en realidad lógicamente equivalentes. Lo
que queda por hacer es mostrar que si supone válido el corolario 2.17, entonces puede
deducir que N no es acotado superiormente.
2.5.
Incompletitud de Q
La siguiente proposición es la clave para mostrar que el axioma de completitud no es
válido en Q.
Proposición 2.22. Sea r ∈ Q con r > 0.
(i) Si r 2 < 2, entonces existe un racional t tal que r < t y t2 < 2.
(ii) Si 2 < r 2 , entonces existe un racional t tal que 0 < t < r y 2 < t2 .
Antes de dar la demostración veamos el significado de esta proposición. Consideremos
los conjuntos
A = {x ∈ Q : 0 < x y x2 < 2}
B = {x ∈ Q : 0 < x y x2 > 2}.
Si representamos en la recta los elementos de A y de B observaremos que cada elemento de
A está a la izquierda de todo elemento de B. En efecto, suponga x ∈ A y z ∈ B. Entonces
x2 < 2 < z 2 .
Como x y z son positivos, entonces necesariamente x < z (¿por qué?).