CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Ejemplo 2.21. No todo conjunto acotado superiormente tiene máximo, como lo hemos visto
en los ejemplos. Pero esto si ocurre para los subconjuntos de N. En efecto, sea A ⊆ N no vacío
y acotado superiormente. Mostraremos que A tiene máximo. Sea r ∈ R una cota superior de
A. Como N no es acotado superiormente (por el teorema 2.15), entonces existe un natural
n0 tal que r < n0 . En particular, n0 ∈ A y en consecuencia N \ A no es vacío. Por el principio
de buena ordenación de N (teorema 2.14), concluimos que N \ A tiene un primer elemento
que llamaremos m0 . Dejamos al lector la tarea de mostrar que m0 ≥ 1 y que m0 − 1 es el
máximo de A.
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Ejercicios 2.4
1. Determine si los siguientes subconjuntos de R son (i) acotados superiormente y (ii)
acotados inferiormente, en caso que lo sean, hallar su supremo y su ínfimo. Determinar
si tienen máximo y/o mínimo.
a) Q, Z
b) {n ∈ Z : n ≤ −4}
1
c) { n : n ∈ N y n ≥ 1}
1
d ) { n : n ∈ Z y n = 0}
e) {3 −
f ) {3 +
1
n−9
4
n
g) {24 −
: n ∈ N y n ≥ 15}
: n ∈ N y n ≥ 1}
5
7n+2
: n ∈ N y n ≥ 1}
h) { 3m+1 : m ∈ Z y m = 0 }
m
2
n
i ) { n2 +1 : n ∈ Z }
j ) {x ∈ R : x = 3n + 1 para algún n ∈ N}
2
k ) { 5nn +2 : n ∈ N }
2
1
l ) { n + (−1)n : n ∈ N y n ≥ 1 }
m) {1 +
(−1)n
n
: n∈N y n≥1}
3
n) { 9+n : n ∈ N y n ≥ 1 }
ñ) {2−n + 3−m + 5−p : n, m, p ∈ Z+ }
o) { 2n+7 : n ∈ N}
6n+8
2n+1
p) { 6n+8 : n ∈ N}
2n+7
q) { 6n+(−1)n 8 : n ∈ N}
r ) { 2n+(−1)
6n+8
s) {
n7
2(−1)n n+7
6n+8
: n ∈ N}
: n ∈ N}