2.4. LA PROPIEDAD ARQUIMEDIANA
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(i) 3/7 es una cota inferior de A. En efecto, dado n ∈ N, como 7n + 8 > 0 entonces
3
7
<
3n+5
7n+8
⇔ 21n + 24 < 21n + 35
⇔ 24 < 35.
Como la última desigualdad es verdadera, entonces la primera también lo es y por lo
tanto 3/7 es una cota inferior para A.
(ii) Mostraremos que 3/7 es la mayor de las cotas inferiores de A. Para hacerlo verificaremos
que para todo real r > 3/7, existe x ∈ A tal que x < r (es decir, r no es una cota
inferior de A). Esto es equivalente a mostrar que existe n ∈ N tal que
3n + 5
< r.
7n + 8
Observemos que como 7n + 8 > 0, entonces
3n+5
7n+8
< r ⇔ 3n + 5 < r(7n + 8)
⇔ 3n + 5 < 7rn + 8r
⇔ 5 − 8r < (7r − 3)n
⇔ 5−8r < n.
7r−3
Observe que para que la última equivalencia sea válida se requiere que 7r − 3 > 0, lo
cual es cierto pues 3/7 < r.
De lo probado arriba se tiene que es suficiente mostrar que existe un natural n tal que
n>
5 − 8r
·
7r − 3
Pero esto es claro, pues el teorema 2.15 precisamente dice que N no es acotado superiormente en R y por lo tanto existe un natural mayor que 5−8r .
7r−3
Observe la pequeña diferencia que existe entre las definiciones de A y B. Esta diferencia
es la causante que ahora 3/7 sea el ínfimo en lugar del supremo.
2
Sea A un subconjunto de R
Para mostrar que A es acotado superiormente debemos encontrar un real r
tal que todo elemento de A es menor que r.
Para mostrar que A no es acotado superiormente debemos garantizar que
para cualquier real r existe un elemento de A mayor que r.