CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Ejemplo 2.20. Consideremos el siguiente conjunto
A=
3n + 5
: n∈N .
7n + 8
Veamos algunos de los elementos de A haciendo una tabla
n
0
1
2
3
4
5
3n+5
7n+8
5/8
8/15
11/22
14/29
17/36
20/43
Notemos que los números en la columna de la derecha van decreciendo. Por ejemplo, tenemos
que 5/8 > 8/15 > 11/22. De hecho se tiene que la sucesión
3n + 5
7n + 8
es decreciente. Es decir, a medida que n aumenta
n≥0
3n+5
7n+8
disminuye, o mas precisamente,
3n + 5
3(n + 1) + 5
>
para todo natural n.
7n + 8
7(n + 1) + 8
Veamos porqué es válida esta última afirmación. Tenemos que 7n + 8 y 7n + 15 son positivos
para todo n ∈ N y por lo tanto
3n+5
7n+8
>
3(n+1)+5
7(n+1)+8
⇔ (3n + 5)(7(n + 1) + 8) > (3(n + 1) + 5)(7n + 8)
⇔ 21n(n + 1) + 24n + 35(n + 1) + 20 >
21n(n + 1) + 35n + 24(n + 1) + 40
⇔ 69n + 35 > 69n + 24
⇔ 35 > 24.
Como la última desigualdad es válida podemos concluir que la primera también lo es y por
lo tanto los valores que toma 3n+5 van decreciendo a medida que n crece. Esto muestra que
7n+8
3n+5
el valor máximo que toma 7n+8 se alcanza cuando n = 0. Es decir, 5/8 es el máximo de A
(y por lo tanto A es acotado superiormente).
Además observemos que
5
3+ n
3n + 5
=
8.
7n + 8
7+ n
3n+5
Esta última igualdad muestra que 7n+8 se “aproxima” a 3 para valores grandes de n. Mostraremos
7
que el ínfimo de A es 3 . Debemos mostrar dos cosas:
7