CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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En efecto, ya vimos que 1 es una cota superior de A. Veremos que 1 es la menor de las cotas
superiores. Para hacerlo basta mostrar que dado t < 1, existe x ∈ A tal que t < x pues esto
probaría que t no es una cota superior de A y por consiguiente 1 es la menor de todas. Sea
t < 1, entonces 1 − t > 0, luego por el corolario 2.17 existe un n0 ∈ N tal que
1
< 1 − t.
n0
Luego
1
.
n0
1
Para concluir el argumento, note que 1 − n0 ∈ A.
Obsérvese que 1 no pertenece a A. En general, el supremo de un conjunto no tiene que
ser un elemento del conjunto en cuestión.
2
t<1−
Ejemplo 2.19. Consideremos el conjunto
B=
3n + 5
: n∈N .
7n + 12
Veamos algunos de los elementos de B haciendo una tabla
n
0
1
2
3
4
5
3n+5
7n+12
5/12
8/19
11/26
14/33
17/40
20/47
Notemos que los números en la columna de la derecha van creciendo. Por ejemplo, tenemos
que 5/12 < 8/19 < 11/26. De hecho se tiene que la sucesión
3n + 5
7n + 12
es creciente. Es decir, a medida que n aumenta
n≥0
3n+5
7n+12
también aumenta, o mas precisamente,
3n + 5
3(n + 1) + 5
<
para todo natural n.
7n + 12
7(n + 1) + 12
Veamos porqué es válida esta última afirmación. Tenemos que 3n + 5 y 7n + 12 son positivos
para todo n ∈ N y por lo tanto
3n+5
7n+12
<
3(n+1)+5
7(n+1)+12
⇔ (3n + 5)(7(n + 1) + 12) < (3(n + 1) + 5)(7n + 12)
⇔ 21n(n + 1) + 36n + 35(n + 1) + 60 <
21n(n + 1) + 36(n + 1) + 35n + 60
⇔ n