2.4. LA PROPIEDAD ARQUIMEDIANA
2.4.
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La propiedad Arquimediana
En esta sección mostraremos que los números reales satisfacen el principio de Arquímedes. Este principio es equivalente al hecho que los naturales no son acotados superiormente en R. Con estas herramientas a nuestra disposición podremos dar ejemplos más
interesantes de conjuntos acotados.
Teorema 2.15. N no es acotado superiormente en R.
Demostración: Daremos una prueba indirecta por reducción al absurdo. Supongamos que N
es acotado superiormente. Por el axioma de completitud N tiene supremo. Sea c el supremo
de N. Como c − 1 < c, entonces c − 1 no es una cota superior de N. Luego existe n0 ∈ N tal
que c − 1 < n0 . De esto último se obtiene que c < n0 + 1 y como n0 + 1 ∈ N, entonces c no
sería una cota superior de N, lo cual es una contradicción.
2
Teorema 2.16. (Propiedad Arquimediana) Dados r, s ∈ R y r > 0, existe n ∈ N tal que
s < nr.
Demostración: Sean r, s reales con r > 0. Como N no es acotado superiormente tenemos que
s · r−1 no es una cota superior de N. Por lo tanto existe un natural n tal que
s · r−1 < n.
Multiplicando por r ambos lados (recuerde que r > 0) obtenemos el resultado deseado.
2
La propiedad Arquimediana tiene una interpretación geométrica sencilla. Dice que dados dos segmentos arbitrarios de longitudes s y r respectivamente, podemos obtener otro
segmento de longitud mayor que s si concatenamos el segmento de longitud r un número
suficiente de veces (es decir, si los colocamos alineados uno después del otro). ¿Cuál es ese
número suficiente de veces? Esto depende por supuesto de s y r. Por ejemplo, para s = 14
9
1
y r = 1 ¿cuántas veces se requiere repetir un segmento de longitud 3 para obtener otro
3
de longitud mayor que 14 ? Es claro que s ≤ 14r, pero podemos obtener un resultado mas
9
1
preciso, en efecto, como 14 < 5 1 bastaría repetir 5 veces el segmento de longitud 3 .
9
3
El siguiente resultado, que se usa con bastante frecuencia, es análogo a la proposición
1.31.
Corolario 2.17. Sea r ∈ R con 0 < r, existe n ∈ N tal que
1
n
< r.
Demostración: Sea r un real positivo. Por la propiedad Arquimediana 2.16 usada para s = 1
obtenemos que existe n ∈ N tal que 1 < nr. Es decir, 1/n < r como se requería.
2
Ejemplo 2.18. Ahora podemos completar el ejemplo 2.10 mostrando que 1 es el supremo
del conjunto
1
A = {1 − : n ∈ N}.
n