CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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h) A = {x ∈ R : 1 < x < 2} y B = {x ∈ R : 3 < x < 4}
6.
a) En cada uno de los conjuntos del ejercicio 5 determine si los conjuntos A, B,
A + B y A · B son acotados superiormente. En caso que lo sean, halle sup A,
sup B, sup(A + B) y sup(A · B).
b) Dado s tres subconjuntos A, B, C de R ¿Es cierto que A · (B + C) = A · B + A · C?
7. Sea A ⊆ R y B = A\[0, 1]. Suponga que B es acotado superiormente y que sup(B) ≤ 0.
Muestre que A es acotado superiormente y que sup(A) ≤ 1.
8. Sea A ⊆ R y B = A \ [0, 1]. Suponga que B es acotado inferiormente y que ínf(B) ≥ 1.
Muestre que A es acotado inferiormente y que ínf(A) ≥ 0.
9. Sean a, b, c, d ∈ R con a < b y c < d. Los intervalos (a, b), (−∞, a) y (a, +∞) se definen
de la siguiente manera:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}
(a, +∞) = {x ∈ R : a < x}.
Usando la noción de suma de conjuntos del ejercicio 5, muestre que
(i) (a, +∞) + (c, +∞) = (a + c, +∞).
(ii) (−∞, a) + (−∞, c) = (−∞, a + c).
(iii) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (en caso de emergencia, vea el ejercicio 9 de la
sección 2.9).
10. Sea r un real positivo. Considere los siguiente conjuntos:
E = {x ∈ R : x = (1 + a)r para algún real a > 0.}
F = {x ∈ R : x =
r
para algún real b con 0 < b < 1.}
1−b
a) Determine si E ⊆ D o D ⊆ E o E = D.
b) ¿Es E igual al intervalo (r, +∞) ?
11. Considere los siguientes conjuntos:
E = {x ∈ R : ∃a, b ∈ R (a < x < b ≤ 2)}
F = {x ∈ R : ∃a ∈ R (a < x < 2)}
G = {x ∈ R : x < 2}
Determine que relación guardan entre sí. ¿Serán iguales?