2.3. EL AXIOMA DE COMPLETITUD
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De manera análoga definiremos los conceptos de cota inferior y cota inferior máxima.
Definición 2.11. Un conjunto A de números reales se dice que es acotado inferiormente
si existe un número real c tal que para todo x ∈ A, se cumple que c ≤ x. Un número real c
con esta propiedad se dice que es una cota inferior de A.
Definición 2.12. Dado un conjunto A de números reales acotado inferiormente, diremos
que un número real c es una cota inferior máxima de A si se cumplen las dos condiciones
siguientes:
(i) c es una cota inferior de A.
(ii) Si d es una cota inferior de A, entonces d ≤ c.
Si A tiene una cota inferior máxima, entonces ella es única (¿por qué?). En el caso que
A admita una cota inferior máxima c, diremos que c es el ínfimo de A y escribiremos
c = ´ A.
ınf
También escribiremos ´
ınf(A) para evitar ambigüedades.
Diremos que c es el mínimo de A si c ∈ A y para todo x ∈ A se cumple que c ≤ x. Es
decir, si c ∈ A y c es una cota inferior de A.
Notemos que c es el mínimo de A si, y sólo si, c ∈ A y c es el ínfimo de A.
El axioma de completitud implica que todo conjunto no vacío de números reales acotado
inferiormente tiene un ínfimo.
Teorema 2.13. Todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente tiene
ínfimo.
Demostración: Sea A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente. Sea
B = {y ∈ R : y es una cota inferior de A}.
Por hipótesis, B no es vacío. Por otra parte, mostraremos que cualquier x ∈ A es una cota
superior de B. En efecto, dado x ∈ A, por definición de ínfimo se tiene que y ≤ x para todo
y ∈ B. Por el axioma de completitud B tiene supremo. Sea c el supremo de B. Mostraremos
que c es el ínfimo de A. Tenemos que mostrar dos cosas:
1. c es una cota inferior de A. Sea x ∈ A. Ya mostramos que x es una cota superior de
B. Luego, como c es el supremo de B, se tiene que c ≤ x. Y esto muestra que c es una
cota inferior de A.
2. c es la mayor de la cotas inferiores de A. Sea d otra cota inferior de A, es decir, d ∈ B.
Como c es el supremo de B, se tiene que d ≤ c.
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Veremos en seguida que el principio de buena ordenación de N ahora puede ser deducido
del axioma del supremo. Observe el lector que para el estudio de los números enteros y
racionales se incluyó este principio como una propiedad más de Z junto con P1, ...., P12.