CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Si A tiene una cota superior mínima, entonces ella es única. En efecto, si c y c son cotas
superiores mínimas de A, es claro de la definición que c ≤ c y también que c ≤ c. Luego
por la Ley de Tricotomía tenemos que c = c .
En el caso que A admita una cota superior mínima c, diremos que c es el supremo de
A y escribiremos
c = sup A.
Cuando haga falta para evitar ambigüedades también escribiremos sup(A).
Diremos que c es el máximo de A si c ∈ A y para todo x ∈ A se cumple que x ≤ c. Es
decir, si c ∈ A y c es una cota superior de A.
Notemos que si c es el máximo de A, entonces c es el supremo de A. En otras palabras, un
conjunto tiene máximo si, y sólo si, el conjunto tiene supremo y además el supremo pertenece
al conjunto.
Ejemplo 2.10.
1. Considere el conjunto siguiente:
A = {r ∈ R : r ≤ 5}.
Es claro que 5 es una cota superior de A y además 5 pertenece a A. Luego 5 es el
máximo y por lo tanto 5 también es el supremo de A.
2. Consideremos ahora el conjunto:
B = {1 −
1
: n ∈ N, n ≥ 1}.
n
Observemos que para todo b ∈ B se tiene que b ≤ 1. Así que B es acotado superiormente. Por otra parte 1 ∈ B (¿por qué?). No es difícil convencerse que 1 debe ser
el supremo de B, sin embargo, para demostrarlo formalmente necesitaremos primero
mostrar que N no es acotado superiormente en R, lo que haremos más adelante (ver el
teorema 2.15).
Pero si podemos mostrar que B no tiene máximo. En efecto, observemos que
1−
1
1
<1−
n
n+1
para todo natural n ≥ 1 (verifíquelo!). Esto indica que ningún elemento de B es mayor
que todos los otros elementos de B.
2
Ahora bien, ¿será cierto que todo conjunto de números reales acotado superiormente tiene
supremo? La respuesta es afirmativa, sin embargo no es posible deducirla de las propiedades
de los números reales vistas hasta ahora: P1, ..., P12. Por esta razón se introduce la siguiente
propiedad, que se conoce como el axioma de completitud o axioma del supremo.
P13 (Axioma de Completitud) Todo conjunto no vacío de números reales que sea acotado
superiormente tiene supremo.