2.3. EL AXIOMA DE COMPLETITUD
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2. Sea m un entero. Muestre que si m2 es impar, entonces m es impar.
3. Sean p y q enteros. Muestre que si mcd(p, q) = 1, entonces mcd(pn , q n ) = 1 para todo
natural n.
4. En cada uno de los siguiente ejercicios determine si existe un racional r que satisfaga
lo indicado:
(i) r3 = 4, (ii) r 2 = 12, (iii) r 4 = 80, (iv) r 3 = 64,
5. Daremos las indicaciones de una demostración alternativa de que no existe un racional
r tal que r 2 = 2. Esta demostración fué tomada de [3]. El argumento es por reducción
al absurdo. Suponga que si existe un racional r tal que r 2 = 2. Considere el siguiente
conjunto de números naturales:
S = {n ∈ N \ {0} : n · r ∈ N}
a) Muestre que S no es vacío.
b) Por el principio de buena ordenanción de N, S tiene un primer elemento que
denotaremos por a. Concluya que a·(r −1) es un natural positivo y pertenece a S.
Muestre que 1 < r < 2 y obtenga una contradicción mostrando que a · (r − 1) < a.
2.3.
El axioma de completitud
La siguiente definición es crucial para enunciar el axioma de completitud.
Definición 2.7. Un conjunto A de números reales se dice que es acotado superiormente
si existe un número real c tal que x ≤ c para todo x ∈ A. Un número c con esta propiedad
se dice que es una cota superior de A.
Ejemplo 2.8. Considere el siguiente conjunto de números reales.
A = {r ∈ R : r < 5}.
Tenemos que 5 es una cota superior de A. Además todo número real mayor que 5 también
es una cota superior de A. Por ejemplo 11 y 6 son cotas superiores de A.
2
2
Definición 2.9. Dado un conjunto A de números reales acotado superiormente, diremos que
un número real c es una cota superior mínima de A si se cumplen las dos condiciones
siguientes:
(i) c es una cota superior de A.
(ii) Si d es una cota superior de A, entonces c ≤ d.