CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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Antes de mostrar que no existe un racional cuyo cuadrado sea 2 necesitamos recordar un
hecho importante acerca de las fracciones. Ya dijimos que un número racional está representado por una infinidad de fracciones. Sin embargo, entre todas las fracciones que representan
a un racional dado, hay una que se distingue de las demás por estar en forma irreducible.
Una fracción m se dice irreducible si mcd(m, n) = 1 y n > 0, es decir, si n y m son coprimos.
n
Recuerde que mcd(n, m) denota el máximo común divisor de n y m. La s iguiente proposición
muestra lo que acabamos de decir.
Proposición 2.5. Dada una fracción
m
,
n
existe otra fracción
p
q
irreducible tal que
m
n
= p.
q
Demostración: Sea m, n dos enteros con n = 0. Denotaremos mcd(n, m) por d. Sea p = m/d
y q = n/d. Entonces mcd(p, q) = 1 y además p = m .
q
n
2
La proposición anterior nos dice que siempre podemos suponer, si hiciera falta, que un
número racional está representado por una fracción irreducible.
Proposición 2.6. No existe un racional r tal que r 2 = 2.
Demostración: Daremos un argumento indirecto, por reducción al absurdo. Supongamos que
tal racional existe, sea entonces m una fracción tal que
n
m
n
2
Por la proposición 2.5 podemos suponer que
mcd(m, n) = 1. Tenemos entonces que
= 2.
m
n
es irreducible (¿por qué?), es decir que
m2
=2
n2
y por lo tanto m2 = 2n2 . Luego m2 es par. Afirmamos que, en consecuencia, m también es
par. En efecto, si m no fuera par, entonces sería impar, es decir, m = 2l + 1 para algún entero
l. Por lo tanto,
m2 = (2l + 1)2 = 4l2 + 4l + 1 = 2(2l2 + 2l) + 1
y de esto se obtiene que m2 es impar. Lo cual contradice lo que obtuvimos antes. Por esto
m es par.
Como m es par, existe un entero k tal que m = 2k. Luego m2 = 4k 2 y por lo tanto
2
2n = 4k 2 . De esto se obtiene que n2 es par y, como antes, esto implica que n también es
par. Por lo tanto m y n son pares, en consecuencia mcd(n, m) = 1, lo que contradice nuestra
suposición de que m era una fracción irreducible.
n
2
Si el lector está interesado en una demostración alternativa del teorema anterior, lo
invitamos a resolver el ejercicio 5.
Ejercicios 2.2
1. Determine la fracción irreducible equivalente a la fracción dada:
(a)
3
,
27
(b)
36
,
20
(c)
100
,
68
45
(d) − 26 , (e) − 35
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