2.2. LA ECUACIÓN X 2 − 2 = 0
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4. (−1) · x = −x
5. x · (−y) = −(x · y) = (−x) · y
6. −(x + y) = (−x) + (−y)
7. (−x) · (−y) = x · y
2
El orden de R se define de manera análoga a como lo hiciéramos en Q.
Definición 2.3. Sean a, b ∈ R. Escribiremos a < b cuando ocurra que b − a ∈ R + . Además
convenimos es escribir
(i) a > b, si b < a
(ii) a ≤ b, si a = b o a < b.
(iii) a ≥ b, si b ≤ a.
Las propiedades mas usadas de la relación de orden las enunciamos en el teorema siguiente
Teorema 2.4. Para todo x, y, z, w ∈ R tenemos
1. (Transitividad) Si x < y e y < z, entonces x < z
2. (Linealidad del orden) Se cumple una, y sólo una, de las siguientes afirmaciones:
(i) x = y, (ii) x < y, (iii) y < x.
3. Si x < y, entonces x + z < y + z.
4. Si z > 0 y x < y, entonces xz < yz.
5. Si z < 0 y x < y, entonces xz > yz.
6. z > 0 si, y sólo si 1/z > 0.
7. 0 < x < y si, y sólo si 0 < 1/y < 1/x.
8. Si x ≤ y y w ≤ z, entonces x + w ≤ y + z.
2
2.2.
La ecuación x2 − 2 = 0
La división (operación inversa de la multiplicaión) es siempre posible en Q y es por esto
que la ecuación ax + b = c tiene solución en Q (cuando a, b y c son racionales). Sin embargo,
no ocurre lo mismo con la potenciación, pues, como veremos enseguida, no existe un racional
r tal que r 2 = 2, o para decirlo de manera equivalente, la ecuación x2 − 2 = 0 no tiene
solución en Q.