CAPÍTULO 2. LOS NÚMEROS REALES
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P2 a + b = b + a para todo a, b ∈ R (Ley conmutativa para la suma).
P3 Existe un elemento de R denotado por 0 tal que a + 0 = a para todo a en R (Existencia
de elemento neutro para la suma).
P4 Para cada a ∈ R existe b ∈ R tal que a + b = 0 (Existencia de elemento inverso con
respecto a la suma).
P5 a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c en R (Ley asociativa para la multiplicación).
P6 a · (b + c) = a · b + a · c para todo a, b, c en R (Ley distributiva para la suma y la
multiplicación).
P7 a · b = b · a para todo a, b en R (Ley conmutativa para la multiplicación).
P8 Existe un elemento de R, que denotamos con 1, tal que 1 = 0 y a · 1 = a para todo
a ∈ R (Existencia de elemento neutro para la multiplicación).
P9 (Ley de Tricotomía) Para todo número real a se cumple una y sólo una de las siguientes
afirmaciones:
1. a = 0.
2. a ∈ R+ .
3. −a ∈ R+ .
P10 Si a, b ∈ R+ , entonces a + b ∈ R+ .
P11 Si a, b ∈ R+ , entonces a · b ∈ R+ .
P12 Dado a ∈ R con a = 0, existe un b ∈ R tal que a · b = 1 (Existencia de elemento inverso
con respecto a la multiplicación).
Sabemos además que a partir de P1,. . . , P12 se demuestra que los elementos inversos
para la suma y la multiplicación dados por P4 y P8 son únicos y se denotan por −a y
a−1 respectivamente. En el siguiente teorema se enuncian las consecuencias mas usadas de
P1,. . . , P12.
Teorema 2.1. (Leyes de cancelación) Sean x, y, z, w ∈ R. Se cumple que
(i) Si x + z = y + z, entonces x = y.
(ii) Si xw = yw y w = 0, entonces x = y.
Teorema 2.2. Sean x, y, z, w ∈ R con z = 0 = w. Tenemos que
1. x · 0 = 0
2. −(−x) = x
3. (w−1 )−1 = w
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