CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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b) {r ∈ Q : r ≤ 6} ∪ {r ∈ Q : 10 ≤ r}
c) {1, 2, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 12}
d) N
e) { 21 : n ∈ N}
n
f ) {± 21 : n ∈ N}
n
g) {m ±
h) {m ±
1
:
n
1
:
2n
m, n ∈ Z y n > 0}
m ∈ Z, n ∈ N}
i) Q \ Z
4. Lea de nuevo la demostración del teorema 1.25 y determine si se puede usar
s+r
lugar de
.
2
s+r
en
3
5. Determine si la condición (*) es necesaria para que un subconjunto D ⊆ Q sea denso:
r+s
(*)
Para todo r, s ∈ Q se tiene que
∈ D.
2
Es decir, determine si es verdadero que dado un conjunto D denso en Q, entonces se
cumple (*).
6. Sean r, s dos racionales con r < 0. Muestre que existe un natural n tal que nr < s.
7.
a) Sea r un racional positivo. Muestre que existe n ∈ N tal que 0 < 25/n < r.
b) Determine si el siguiente enunciado es verdadero:
∀r ∈ Q+ ∀n ∈ N ( 0 <
25
< r ).
n+1
c) Sea a un entero positivo y r un racional positivo. Muestre existe n ∈ N tal que
a
0 < n < r.
d ) Enuncie un resultado más general que el de la parte (b).
8. Muestre que para todo racional r > 0 existe un natural n tal que r >
n
.
n2 +1
9. Sea a un entero con a ≥ 2. Muestre por inducción que m ≤ am para todo m ∈ N.
10. Sea r ∈ Q y n ∈ N con n > 0. Muestre que existe un único entero m tal que
m+1
.
n
m
n