1.5. SUBCONJUNTOS DENSOS DE Q
27
Demostración: Primero supondremos que r > 0. Por la parte (iii) de la proposición 1.31
sabemos que existe un natural p tal que
1
< s − r.
10p
(1.3)
Por la parte (i) de la proposición 1.31, existe un n tal que r10p < n. Esto muestra que el
siguiente conjunto no es vacío
B = {n ∈ N : r <
n
}.
10p
El principio de buena ordenación nos garantiza que B tiene un primer elemento el cual
denotaremos con la letra m.
Afirmamos que
r<
m
< s.
10p
(1.4)
La primera desigualdad es obvia por el hecho que m pertenece a B. La segunda desigualdad
m
la mostraremos por reducción al absurdo. Supongamos que s ≤ 10p . Por ser m el primer
elemento de B tenemos que m − 1 ∈ B. Pero observe que m − 1 ≥ 0 pues r > 0, por lo tanto
la razón para que m − 1 no pertenezca a B es que m−1 ≤ r. De lo anterior se deduce que
10p
m−1
m
≤ r < s ≤ p.
10p
10
De esta desigualdad se concluye que
s−r ≤
m
m−1
1
−
= p.
p
p
10
10
10
Lo que contradice que p satisface (1.3). Con esto hemos mostrado (1.4.
Nos queda por analizar el caso r ≤ 0, pero como el lector probablemente sospecha, lo
dejaremos como ejercicio (ver ejercicio 13).
2
Ejercicios 1.5
1. En cada uno de los ejercicios siguientes halle dos racionales estrictamente entre los
racionales indicados:
2 7
15 34
4
6
6
7
(a) y , (b)
y
, (c) − y − , (d)
y
.
3 9
7
9
5
9
18 14
a
c
a
a+c
c
2. Sean a, b, c, d enteros con b > 0 y d > 0. Muestre que si < , entonces <
< .
b
d
b
b+d
d
¿Qué tiene que ver este resultado con el teorema 1.25?
3. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de Q son densos en Q. Justifique su
respuesta.
a) Q \ {7, 8, 10, 25}