CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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1.5.2.
Un ejemplo de subconjunto denso de Q
El objetivo principal de esta sección es mostrar que el siguiente subconjunto de Q es
denso
m
: m ∈ Z, n ∈ N .
10n
¿Cuáles racionales pertenecen a este conjunto? Precisamente aquellos que tienen expansión
decimal finita (no periódica).
Para lograr nuestro objetivo necesitamos mostrar primero un resultado auxiliar que es
interesante en si mismo.
Proposición 1.31.
s < nr.
(i) Sean r y s dos racionales con r > 0, existe un natural n tal que
(ii) Para todo racional r > 0, existe n ∈ N tal que 0 < 1/n < r.
(iii) Para todo racional r > 0, existe n ∈ N tal que 0 <
1
10n
< r.
Demostración:
(i) Si s ≤ 0, entonces basta tomar n = 1. Suponga entonces que s > 0. Como s · r −1 > 0,
entonces existen enteros positivos p y q tales que s · r −1 = p/q. Como 1 ≤ q entonces
p/q ≤ p. En consecuencia, s · r −1 ≤ p y, despejando s, obtenemos que s < pr.
(ii) Fijemos un racional r > 0. Tome s = 1 y use la parte (i) para concluir que existe n ∈ N
tal que 1 < nr. Por lo tanto, 0 < 1/n < r.
(iii) Usaremos que n ≤ 10n para todo n ≥ 1 (esto se demuestra por inducción y lo dejaremos
a cargo del lector). En particular esto dice que
1
1
≤ .
n
10
n
Ahora bien, dado r > 0 racional, por lo probado en la parte (ii), sabemos que existe
un natural n tal que 1/n < r. Como n ≤ 10n tenemos que
1
1
≤ < r.
n
10
n
2
Ya tenemos lo que nos hace falta para mostrar lo indicado al comienzo de esta sección.
Proposición 1.32. Dados s, r ∈ Q con r < s, existe m ∈ Z y p ∈ N tales que r <
En consecuencia, el siguiente conjunto es denso en Q:
m
: m ∈ Z, n ∈ N .
10n
m
10p
< s.