1.5. SUBCONJUNTOS DENSOS DE Q
1.5.1.
25
El juego ∀ ∃
Escribamos la definición de conjunto denso en la notación de la lógica simbólica. Sea
A ⊆ Q, entonces A es denso si la siguiente proposición es verdadera:
∀s ∈ Q ∀r ∈ Q [ r < s → ∃t ∈ A ( r < t < s)].
(1.2)
Una característica de la expresión anterior es que tiene los dos cuantificadores, ∀ y ∃, y
además aparecen es ese orden, primero aparece dos veces el cuantificador ∀ y después ∃. La
verificción de la validéz de una proposición de este tipo se puede entender en términos de
un juego entre dos jugadores. El primer jugador (que llamaremos ∀) juega de primero y se
encarga de darle valores a las variables que están cuantificadas universalmente. El segundo
jugador (que llamaremos ∃) juega después de ∀ y le corresponde dar valores a las variables que
están existencialmente cuantificadas. Para el problema particular que nos ocupa, determinar
la validéz de (1.2), el jugador ∀ le da valores a r y s y el jugador ∃ le asigna valores a t.
Una partida de este juego se puede representar con una tabla. Un ejemplo concreto es el
siguiente. El jugador ∀ asigna r = 3 y s = 5 y el jugador ∃ responde con t = 7/2.
r
3
∀
s
5
∃
t
7/2
Diremos que el jugador ∃ gana esta partida si la respuesta t que él juega pertenece al
conjunto A. En caso contrario, diremos que ∀ gana la partida. El juego consiste en la lista
de todas las partidas posibles.
Por ejemplo, considere
r
3
∀
s
5
∃
t
7/2
4
9/2
17/4
−7/9
.
.
.
−13/18
.
.
.
−26/36
.
.
.
El conjunto D es denso si no importa como juegue el jugador ∀ es posible para el jugador
∃ jugar de tal manera que gane todas las partidas.