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CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
Demostración: Fijemos r < s racionales cualesquiera. La demostración la haremos por inducción.
Base de la inducción: Para n = 1 el resultado es cierto pues es lo que probamos en el
teorema 1.25.
Paso inductivo: Supongamos que es válido para n = k y lo mostraremos para n = k +1.
La hipótesis inductiva nos asegura que existen racionales t1 , t2 , · · · , tk tales que
r < t1 < t2 < · · · < t k < s
Por el teorema 1.25, aplicado a tk y s, sabemos que existe otro racional u tal que
tk < u < s. Tomemos entonces tk+1 = u.
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Los subconjuntos densos de Q se parecen mucho a Q. Dejaremos como ejercicio al lector
mostrar que la proposición anterior también es válida para los subconjuntos densos de Q
(vea el ejercicio 15).
Ejemplo 1.29. Sea D = Q\{1, 2, 3}. Mostraremos que D es denso. Sean r y s dos racionales
cualesquiera con r < s. Por la proposición 1.28, con r, s y n = 4, sabemos que existen 4
racionales t1 , t2 , t3 y t4 tales que
r < t1 < t2 < t3 < t4 < s.
Como el conjunto {1, 2, 3} tiene 3 elementos, entonces al menos uno de los racionales t 1 , t2 , t3 , t4
pertenece a D. Con esto hemos mostrado que existe t ∈ D tal que r < t < s.
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Ejemplo 1.30. Sea D = Q \ N. Mostraremos que D es denso. Sean r y s dos racionales
cualesquiera con r < s. Entre r y s hay, a lo sumo, una cantidad finita de naturales. Más
formalmente, consideremos el conjunto
F = {n ∈ N : r < n < s}.
Dejamos al lector convencerse que F es finito (esto incluye la alternativa que F sea vacío).
Digamos que F tiene k elementos. Por la proposición 1.28, con r, s y n = k + 1, sabemos
que existen k + 1 racionales t1 , · · · , tk+1 tales que
r < t1 < t2 < · · · < tk+1 < s.
Como el conjunto F tiene k elementos, entonces al menos uno de los racionales t1 , · · · , tk+1
pertenece a D. Con esto hemos mostrado que existe t ∈ D tal que r < t < s.
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