1.5. SUBCONJUNTOS DENSOS DE Q
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Observe que el orden de los enteros no tiene la propiedad expresada en el teorema anterior;
por ejemplo, no existe ningún entero entre el 1 y el 2, como tampoco entre el 5 y el 6, etc.
Como veremos en esta sección, existen subconjuntos de Q que tienen una propiedad
similar a la que mostramos en el teorema 1.25, es decir, tienen la propiedad que entre cada
dos racionales existe un elemento del subconjunto. Estos subconjuntos se llamarán densos.
Definición 1.26. Sea D ⊆ Q, diremos que D es denso en Q si para todo s, r ∈ Q con
r < s, existe t ∈ D tal que r < t < s.
Ejemplos 1.27.
1. El conjunto Z no es denso en Q. En efecto, basta notar que, por
ejemplo, 3 < 4 y no existe un elemento t de Z tal que 3 < t < 4.
2. Consideremos ahora el conjunto A = Q \ {3}. Mostraremos que A es denso en Q. Sean
r < s dos racionales cualesquiera. Sea t = r+s . Si t ∈ A, entonces no tenemos nada
2
mas que mostrar, pues r < t < s. En caso que t ∈ A, se tiene que t = 3. Podemos
tomar u = 3+s . El lector deberá convencerse que r < u < s y u ∈ A.
2
3. Analicemos ahora el siguiente conjunto
1
: n∈N ,
n+1
que denotaremos con la letra B. Le sugerimos al lector que represente algunos de los
elementos de B sobre un recta. Observará que quedan mucho “huecos” donde no hay
elementos de B. Por ejemplo, ningún elemento de B está estrictamente entre 1/2 y
1
1. En efecto, si 1/2 < n+1 < 1, entonces n + 1 < 2 y a la vez n + 1 > 1. Lo cual es
imposible. En conclusión B no es denso.
2
Sea A un subconjunto de Q
Para mostrar que A no es denso debemos encontrar dos racionales r < s
tal que ningún elemento de A esté entre r y s.
Para mostrar que A es denso debemos garantizar que para cualquier
par de racionales r < s, existe un elemento de A entre ellos.
Mostraremos a continuación que entre dos racionales cualesquiera existen tanto racionales
como un desee, de hecho, existe entre ellos una cantidad infinita de racionales.
Proposición 1.28. Para todo r, s ∈ Q con r < s y todo natu