CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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1.5.
Subconjuntos densos de Q
La representación geométrica de los racionales es la siguiente. Fijemos una recta l y un
punto o en ella. Llevemos infinitas veces un segmento unitario hacia la derecha de ese punto
Dividiendo cada segmento en n partes iguales obtendremos los números racionales de la
forma m con m ∈ Z. Si hacemos ésto para cada natural n obtendremos una representación
n
geométrica de todos los racionales.
Aunque hemos usado la misma idea para definir el orden de Q que la usada en Z, el orden
de Q es muy diferente al orden de Z. De la representación se desprende que los racionales
están distribuidos sobre la recta de una manera diferente a como están los enteros. En efecto,
observemos que cualquier intervalo (r, s) contiene racionales. Por esto se dice que el orden
de los racionales es denso 2 . La formulación precisa de esta propiedad del orden de Q es el
contenido del siguiente resultado.
Teorema 1.25. Dados s, r ∈ Q con r < s, existe t ∈ Q tal que r < t < s.
Demostración: Considere el siguiente racional
t=
s+r
2
que corresponde al punto medio de r y s. Mostraremos que r < t < s. En efecto,
t−r =
s+r
s−r
−r =
.
2
2
Como r < s, entonces por definición del orden, se tiene que s − r es positivo. Ahora bien
s−r
= (s − r) · 2−1 .
2
Como 2−1 es positivo (¿por qué?) entonces s−r también es positivo (por P11) y por lo tanto
2
r < t. Notemos que s − t = t − r y por consiguiente s − t > 0, es decir, t < s.
2
2
Compare el significado que le estamos dando a la palabra denso con el que tiene en frases como “la
densidad de población”, “la densidad es igual a la masa sobre el volumen”.