1.4. EL ORDEN EN Q
3
1. Haga una lista en orden creciente de los siguientes racionales: 1 , 7 ,
2
21
15 8 9
, , , 4 , 4,5.
7 7 35 10 6 9
2. En cada uno de los ejercicios siguientes determine para cuales valores de n se cumple
la desigualdad indicada, donde n es un entero positivo:
n
2n
≤
n+1
2n + 1
n+3
n
b)
≤
,
2n + 1
n+1
2n
n+3
≤
.
c)
2n + 1
2n + 1
a)
3. Sean n y m enteros positivos. Determine si la siguiente afirmación es verdadera, justifique su respuesta:
n+m
n·m
≤
.
n·m
n+m
4. Usando las propiedades P1,..., P12 y la definición del orden en Q pruebe que:
a)
b)
c)
d)
0 < a < 1 si, y sólo si, a−1 > 1.
a > 1 si, y sólo si, 0 < a−1 < 1.
0 < a < b si, y sólo si, 0 < b−1 < a−1 .
a < b < 0 si, y sólo si, b−1 < a−1 < 0.
5. Sean a, b, c y d racionales tales que a < b < c < d.
a) Muestre que c − b < d − a.
b) ¿Será cierto que c − b < d − c?
1
1
1
c) Muestre que
<
<
d−a
d−b
d−c
1
1
1
d ) Muestre que
<
<
a−b
a−c
a−d
1
1
1
e) ¿Será cierto que
<
<
?
b−a
b−c
b−d
6. Sean a, b ∈ Q con a > 0 y b > 0. Muestre que a < b si, y sólo si, a2 < b2 .
7. Sean a, b ∈ Q.
a) Muestre que a2 + ab + b2 ≥ 0. (Sugerencia: Muestre que a2 + ab + b2 ≥
b) Muestre que a ≤ b si, y sólo si, a3 ≤ b3 .
(a+b)2
).
2
8. Muestre que si a > 2, entonces a2 − 4 > 0.
9. Muestre que si a > 2, entonces a2 − 2a > 0.
10. Muestre que si a > 1 y b > 1, entonces ab > 1.
11. Dé una prueba de las proposiciones 1.22 y 1.23 (Sugerencia: Vea lo hecho en las proposiciones 1.12 y 1.13).