CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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(iii) Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (Antisimetría).
(iv) Para todo a y b se tiene que a ≤ b o que b ≤ a (Linealidad).
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La siguiente proposición se puede demostrar de manera análoga a como lo hiciéramos en
el caso de los enteros (ver las proposiciones 1.13 y 1.14).
Proposición 1.23. Sean a, b, c, d racionales.
(i) Si a < b, entonces para todo c, a + c < b + c.
(ii) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.
(iii) Si a ≤ b, entonces para todo c, a + c ≤ b + c.
(iv) Si a ≤ b y c ≤ d, entonces a + c ≤ b + d.
(v) Si a < b y c > 0, entonces a · c < b · c. Además, si a ≤ b y c > 0, entonces, a · c ≤ b · c.
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Veamos un ejemplo de cómo se trabaja con la definición del orden en Q.
Proposición 1.24. Sea a un número racional. Se tiene que a > 0 si, y sólo si, a −1 > 0.
Demostración: Debemos mostrar dos implicaciones.
(i) Supongamos que a > 0 y mostremos que a−1 > 0. El argumento es indirecto. Supondremos que a−1 > 0 y llegaremos a una contradicción.
(1)
a−1 > 0
(2)
a−1 ≤ 0
(3)
a−1 = 0
(4)
a−1 < 0
(5)
−a−1 > 0
(6)
a>0
−1
(7)
a · (−a ) > 0
(8) a · (−a−1 ) = −1
(9)
−1 > 0
Por hipó tesis.
De (1) y la linealidad de ≤.
Ya que a · a−1 = 1 = 0
De (2), (3) y la definición de ≤
Por P9
Por hipótesis
De (5) y (6) por P11
Por P12
De (7) y (8) y esto contradice P9 pues 1 > 0
(ii) Supongamos que a−1 > 0, entonces por lo mostrado en la parte (i) tenemos que
(a−1 )−1 > 0. Pero (a−1 )−1 = a (ver el ejercicio 4b de §1.2) y con esto termina la
demostración.
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Ejercicios 1.4