1.4. EL ORDEN EN Q
19
Para mostrar la parte (i) debemos mostrar que
(mq + np) · nq > 0
mp · nq > 0.
y
En efecto, observemos que
(mq + np) · nq = mnq 2 + n2 pq
y
mp · nq = (mn)(pq).
Como m , p ∈ Q+ , entonces sabemos que mn > 0 y pq > 0. Por otra parte, n y q no son
n q
iguales a cero. En consecuencia mnq 2 + n2 pq es la suma de enteros positivos y por lo tanto
es positivo. Por último, tenemos que (mn)(pq) es el producto de enteros positivos y por lo
tanto es positivo.
Para ver (ii), sea m una fracción cualquiera con n = 0. Hay tres casos posibles.
n
(1) Supongamos que m, n > 0 ó n, m < 0. En este caso se cumple que
(2) Supongamos que m = 0. Entonces
m
n
m
n
está en Q+ .
es igual a 0.
(3) Supongamos que n · m < 0. Entonces − m está en Q+ .
n
Finalmente, como 1 =
1
1
y 1 > 0, de la definición de Q+ que obtiene que (iii) se cumple.
2
En particular, también tenemos una proposición análoga a 1.9 y a la ley de cancelación
1.10
Proposición 1.20.
(i) Sean a, b ∈ Q. Si a · b = 0, entonces a = 0 o b = 0.
(ii) Sean a, b y c racionales con c = 0. Si a · c = b · c, entonces a = b.
2
Ahora podemos definir el orden en Q como lo hicimos en los enteros.
Definición 1.21. Sean a, b ∈ Q, definimos
a < b, si b − a ∈ Q+ .
Escribiremos a ≤ b si a = b o a < b.
La siguiente proposición dice que la relación ≤ sobre Q que acabamos de definir satisface
las propiedades que uno espera de un orden. La demostración es similar a la hecha en Z (ver
la proposición 1.12) y la dejaremos a cargo del lector.
Proposición 1.22. La relación ≤ definida en Q es un orden total es decir satisface lo
siguiente:
(i) a ≤ a (Reflexividad).
(ii) Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (Transitividad).