CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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1. Un gavilán le grita a un grupo de palomas posadas en un árbol: Adiós mis cien palomas.
Una de las palomas le contesta: Nosotras, más la mitad de nosotras, más la tercera
parte de nosotras más usted señor gavilán somos cien. ¿Cuántas palomas había en el
árbol? Plantee una ecuación cuya solución de la respuesta a la pregunta anterior.
2. Halle la solución de cada una de las siguientes ecuaciones:
a) 3x + 5 = 7
b) 2x − 8 = 9
c) 5 − 4x = 12
d)
e)
1
x−6= 5
4
7
3
3x
+ 6 = −2x
4
+5
f ) 5y − 6 = −7y + 9
1.4.
El orden en Q
De la misma manera que lo hicimos en Z, podemos definir el orden de Q usando el
conjunto de los racionales positivos (que denotaremos con el símbolo Q+ ). Los racionales
positivos son las fracciones de la forma m con n, m ∈ Z+ . Sin embargo, como una fracción
n
donde el denominador y el numerador son ambos negativos es positiva, también debemos
incluir esas fracciones entre los racionales positivos. En resumen, Q+ se define como
Q+ =
m
: n, m ∈ Z+ o −n, −m ∈ Z+ .
n
Para definir el orden de Q primero mostraremos que Q+ tiene las propiedades deseadas,
es decir, satisface P9, P10 y P11.
Proposición 1.19. Sea Q+ el conjunto de los racionales positivos. Se tiene que
(i) Si a, b ∈ Q+ , entonces a + b, a · b ∈ Q+ .
(ii) Para todo racional a se cumple una, y sólo una, de las siguientes afirmaciones:
a ∈ Q+ , a = 0 , −a ∈ Q+ .
(iii) 1 ∈ Q+ .
Demostración: Supongamos que
m p
,
n q
∈ Q+ . Tenemos que
m p
mq + np
+
=
n
q
nq
mp
m p
·
=
.
n q
nq