1.5. SUBCONJUNTOS DENSOS DE Q
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13. Complete la demostración de 1.32. Ya mostramos que la conclusión de 1.32 se cumple
para r > 0. Muéstrela para r ≤ 0. (Sugerencia: El caso r = 0 ya fué analizado en la
parte (iii) de la proposición 1.31. Quedan otros casos a considerar: (a) r < 0 ≤ s. Este
caso es fácil de tratar usando la proposición 1.31. (b) Suponga r < s < 0 y observe que
0 < −s < −r. Ahora use el hecho que para racionales positivos ya lo probamos).
14. Sean D ⊆ E ⊆ Q. Muestre que si D es denso en Q, entonces E también es denso en
Q.
15. Sea D ⊆ Q denso. Para todo r, s ∈ Q con r < s y todo natural n ≥ 1 muestre que
existen racionales t1 , t2 , · · · , tn en D tales que
r < t1 < t2 < · · · < tn < s.
Sugerencia: Modifique la demostración de la proposición 1.28.
16. Sea D un conjunto denso en Q. Muestre que D \ {a} es denso en Q para todo a ∈ D.
Muestre que si F ⊂ D es finito, entonces D \ F es denso en Q.
17. Sea a un entero con a ≥ 2 y defina Da de la manera siguiente
Da =
m
:m∈Z y n≥0 .
an
a) Muestre que Da es denso en Q (Sugerencia: Siga los pasos de la demostración de
la proposición 1.32 y cuando haga falta use el ejercicio 9).
b) Muestre que si a|b, entonces Da ⊆ Db .
c) Muestre que mcd(a, b) = 1 si, y sólo si, Da ∩ Db = Z.
18. En este ejercicio mostraremos que existen dos subconjuntos de Q disjuntos y ambos
densos.
a) Muestre que si D ⊆ Q es denso en Q, entonces D − Z también es denso en Q.
b) Use (a) y el ejercicio 17 para mostrar que existen D, E ⊆ Q densos en Q con
D ∩ E = ∅.
19. Un subconjunto D ⊆ Q se dice que es denso en sí mismo si satisface la siguiente
propiedad: Para todo a, b ∈ D con a < b existe c ∈ D tal que a < c < b.
a) Muestre que todo subconjunto de Q que sea denso en Q es denso-en-sí-mismo.
b) Sea D = {r ∈ Q : 1 < r < 2 ó 3 < r < 4}. Muestre que D es denso-en-sí-mismo
pero no es denso en Q.
c) De otro ejemplo de un subconjunto de Q que sea denso-en-sí-mismo pero que no
sea denso en Q.