CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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Por ejemplo, la siguiente proposición se demuestra igual a como lo hicimos para los enteros
(ver las proposiciones 1.1, 1.4, 1.8 y el ejercicio 1 de §1.1).
Proposición 1.17. (i) En Q los elementos neutro para la suma y la multiplicación son
únicos. De manera similar el elemento inverso para la suma en Q es único.
(ii) Sean a, b, c ∈ Q. Si a + b = a + c, entonces b = c (Ley de cancelación para la suma).
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Proposición 1.18. En Q el elemento inverso para la multiplicación es único.
Demostración: Sea a un racional con a = 0. Como es usual, para demostrar la unicidad del
inverso supondremos que b y c son racionales que satisfacen
a·b=1 y a·c=1
(1.1)
y mostraremos que b = c. Multiplicando por c ambos lados de la primera igualdad en (1.1),
obtenemos que
(a · b) · c = 1 · c.
De lo anterior se obtiene que
(a · b) · c = c.
Por las leyes asociativa y conmutativa para la multiplicación obtenemos que
b · (a · c) = c.
Como a · c = 1, entonces b · (a · c) = b · 1. Por lo tanto, b · (a · c) = b. Como b · (a · c) = c,
entonces c = b.
2
La notación usual para el inverso multiplicativo de un racional a es
a−1 .
Hay un argumento alternativo para mostrar la unicidad del inverso. En efecto, suponga
que a · b = a · c = 1. Entonces necesariamente a = 0 y por la ley de cancelación se obtiene
que b = c. Este argumento es válido una vez que hayamos verificado la ley de cancelación
para los racionales. Lo que se hará cuando se introduzca el orden en lo racionales.
Ejercicios 1.2
1. Realize las operaciones indicadas
a)
1
3
+
3
4
b) ( 2 + 7 ) −
5
3
c)
d)
4
7
5
2
9
−5
3
11
+
·
−
4
8
3
5