1.2. LOS NÚMEROS RACIONALES
15
m
p
m p
+
es equivalente a
+
n
q
n
q
m p
m p
· .
·
es equivalente a
n q
n q
Demostración: Mostraremos la segunda afirmación y dejaremos la primera como ejercicio.
De la definición de la multiplicación lo que tenemos que mostrar es que
mp
es equivalente a
nq
mp
.
nq
Es decir, debemos mostrar que
mpn q = m p nq.
En efecto, veamos que esto es cierto. Por hipótesis, las fracciones
las fracciones p y p también son equivalentes. Esto nos dice que
q
q
m
n
y
m
n
son equivalentes y
mn = nm y pq = p q.
Multiplicando término a término estas igualdades obtenemos
mn pq = nm p q.
Y de aquí, usando que la multiplicación es conmutativa, obtenemos lo buscado.
2
La característica mas importante que distingue a los racionales de los enteros es que en
Q existe inverso para la multiplicación pero en Z no. Añadiremos una nueva propiedad a la
lista de las propiedades P1,...,P8. la cual afirma que todo elemento distinto del cero tiene
inverso multiplicativo.
P12 Para todo a ∈ Q con a = 0, existe b ∈ Q tal que a · b = 1.
La propiedad P12 no es válida en Z (¿por qué?). Recordemos que el inverso para la
multiplicación en Q viene dado por la siguiente expresión: Sean n, m enteros no nulos
n
m
−1
=
m
.
n
Para verificar que Q satisface P12 observemos que si m, n ∈ Z son ambos distintos de cero,
entonces
m n
1
·
= = 1.
n m
1
Por el simple hecho que en Q se satisfacen P1,..., P8 tenemos que
las proposiciones que mostramos ser válidas para Z también lo son para Q.