CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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8. Demuestre que para todo entero k ∈ Z, se cumple que no existe un entero m tal que
k < m < k + 1.
1.2.
Los números racionales
Los números racionales son las expresiones de la forma m con n y m números enteros y
n
n = 0. El conjunto de los números racionales se denotará con el símbolo Q. Algunos ejemplos
de números racionales:
1 7 −3 9
, ,
,
.
4 5 5 −2
Recordemos que Z ⊆ Q, pues todo entero m se identifica con la fracción m . Por ejemplo,
1
0
2
el 1 se identifica con la fracción 1 y el 0 con la fracción 1 . Notemos que 8 y 1 representan
1
4
al mismo número. Por esta razón, diremos que dos fracciones m y p son equivalentes si se
n
q
cumple que
mq = np.
En este caso, esas dos fracciones representan al mismo número racional.
La suma y la multiplicación en Q se definen de la siguiente manera:
m p
mq + np
+
=
n
q
nq
mp
m p
·
=
.
n q
nq
Si las propiedades P1, ..., P8 las entendemos como refiriéndose a números racionales en
lugar de a números enteros, entonces se tiene que Q satisface P1, ..., P8. Como ilustración
verificaremos que P2 y P8 se cumplen en Q y dejaremos el resto como ejercicio (ver ejercicio
3).
Para ver que P2 se cumple tenemos que verificar que la suma en Q es conmutativa.
Observemos que
m p
mq + np
pn + qm
p m
+ =
=
= + .
n
q
nq
qn
q
n
Para probar que P8 se cumple, basta mostrar que 1 es el elemento neutro de la multiplicación. Observemos que
m 1
m·1
m
· =
= .
n 1
n·1
n
Mostraremos que las operaciones de suma y multiplicación que hemos definido no dependen de las fracciones representantes en el sentido expresado en el siguiente resultado.
Proposición 1.16. Sean n, m, p y q enteros, con n = 0 = q. Supongamos que n , m , p y
q son otros enteros tales que las fracciones m y m son equivalentes y las fracciones p y p
n
n
q
q
también son equivalentes. Entonces