1.1. LOS ENTEROS DESDE UN PUNTO DE VISTA ABSTRACTO
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4. Usando las definiciones de < y ≤ dadas en esta sección muestre lo siguiente:
a) Si 0 < a y b < 0, entonces a · b < 0.
b) Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c.
c) Si 0 < a y b < c, entonces ab < ac.
d ) Si 0 < a y b ≤ c, entonces ab ≤ ac.
e) Si ac < bc y 0 < c, entonces a < b.
f ) Si a < 0 y b < c, entonces ac < ab.
g) Si a < b y c ≤ d, entonces a + c < b + d.
h) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces ac < bd.
i ) Si a + b = d + c y a < d, entonces c < b.
j ) Si a + b < d + c y c < b, entonces a < d.
k ) Si a + b < d + c y c < b, entonces c + a < b + d. (Sugerencia: Muestre primero que
a < d).
l ) Si a > 0 y a · b > 0, entonces b > 0.
5. Justifique, usando los principios vistos en esta sección, que si 4x + 5 − y = 4y − x + 5,
entonces x = y.
6. Considere la siguiente “demostración” de: si a = b, entonces 2 = 1.
(0)
a
(1)
a2
(2)
a 2 − b2
(3) (a + b)(a − b)
(4)
a+b
(5)
2b
(6)
2
=
=
=
=
=
=
=
b
ab
ab − b2
b(a − b)
b
b
1
Justifique cuáles de los pasos son correctos y determine donde está el error.
7. Considere la siguiente demostración:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
a+b
(a + b) − b
b−b
(a + b) − b
a + (b − b)
a + (b − b)
a + (b − b)
a+0
a + (b − b)
a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
b
b−b
0
0
(a + b) − b
0
a+0
a
a
0
Por hipótesis.
De (1) por C1 y P4
Por P4
De (2) y (3) por I3
Por P1
De (4) y (5) por I3
De (3) por C1
Por P3
De (7) y (8) por I3
De (6) y (9) por I2 y I3
¿Puede decir cuál es la proposición que se demuestra?