CAPÍTULO 1. LOS NÚMEROS RACIONALES
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Principio de Buena ordenación: Todo subconjunto no vacío de Z+ tiene mínimo.
Con el principio de buena ordenación se completa la lista de las propiedades fundamentales de los enteros. Este principio es muy importante, en el se basan las demostraciones por
inducción.
Proposición 1.15. El mínimo de Z+ es 1.
Demostración: Por el principio de buena ordenación sabemos que Z+ tiene mínimo, el cual
denotaremos con la letra a. Además, ya que 1 ∈ Z+ , entonces a ≤ 1. Daremos un argumento
indirecto por reducción al absurdo. Supongamos que a = 1. Entonces a < 1. Como a > 0,
podemos multiplicar en ambos lados por a y obtener que a2 < a (ver la proposición 1.14).
Pero esto contradice que a es el menor elemento de Z+ , pues a2 ∈ Z+ .
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Ejercicios 1.1
En los siguientes ejercicios use sólo las propiedades P1, P2, ..., P11 de las operaciones
de suma y multiplicación y las propiedades I1,I2, I3 y C1 y C2 de la igualdad.
1. Sea b un entero con la propiedad que existe un entero a tal que a + b = a. Muestre que
b = 0. Este ejercicio dice que el elemento neutro para la suma es único.
2. Dados enteros a, b y c tales que a + b = 0 y a + c = 0, muestre que b = c.
3. Demuestre las siguientes afirmaciones donde a, b, c y d son enteros. Notación: a 2 = a·a.
a) a + b = −(−a − b).
b) a + b = a − (−b).
c) Si a − b = c, entonces a = b + c.
d ) Si a = b + c, entonces c = a − b.
e) (a + b) + (c − b) = a + c.
f ) (b − a) + (d − c) = (b + d) − (a + c).
g) a + (b + 1) = 1 + (b + a).
h) a + (b + (c + d)) = ((d + c) + b) + a.
i ) a · b = (−a) · (−b).
j ) (−a)2 = a2 .
k ) Suponga que a + b = c + d y a + c = b + d. Muestre que b = c.
¿Será cierto que también a = d?
l ) Si c + c = 1 + 1, entonces c = 1. (Sugerencia: Use la ley distributiva para obtener
que c + c = (1 + 1) · c).
m) a · (1 + b) + c = (c + ab) + a.