CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
194
Ejercicios 5.11
1. Muestre que r ∗ es una cortadura para cada racional r.
2. Considere los conjuntos
A = {r ∈ Q : r ≤ 0 ó 0 < r y r 2 < 2}
B = {s ∈ Q : 0 < s y s2 > 2}.
Muestre que
(i) A no tiene máximo y que B no tiene mínimo.
(ii) Para todo r ∈ A y todo s ∈ B, r < s.
(iii) Q = A ∪ B y A ∩ B = ∅.
(iv) A es una cortadura.
(Sugerencia: Para la parte (i) use el ejercicio 3 de §2.5 en el capítulo 1).
3. Sea
α = {r ∈ Q : r ≤ 0 ó 0 < r y r 2 < 5}.
Muestre que α es una cortadura. (Sugerencia: Use el ejercicio 5 de §2.5 del capítulo 1).
4. Dados dos racionales r, s muestre que
a) (r + s)∗ = r∗ + s∗ .
b) (rs)∗ = r∗ · s∗ .
c) r∗ < s∗ si y sólo si r < s.
5. Si α y β son cortaduras tales que α < β, entonces existe un racional r tal que α <
r∗ < β.
6. Sea α una cortadura. Muestre que r ∈ α si y sólo si r ∗ < α.
7. Sean α y β cortaduras. Muestre que α ∪ β y α ∩ β son cortaduras.
8. Sea α una cortadura diferente de 0∗ . Daremos algunas indicaciones para mostrar que
1∗ = α · α−1
Muestre primero que α · α−1 ⊆ 1∗ .
Para la otra dirección siga los siguientes pasos.
a) Muestre que, sin pérdida de generalidad, se puede suponer que α > 0