5.11. ¿CÓMO SE CONSTRUYEN LOS REALES?
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b) Podemos también suponer que α = r ∗ para r ∈ Q.
En efecto, note que para r ∈ Q con r > 0 se tiene que
(r∗ )−1 = {x ∈ Q : x ≤ 0} ∪ {x ∈ Q : x = 1/y , y ∈ Q , y > r}
Sea 0 < s < 1 un racional cualquiera. Sea
t=r
1−s
1+s
entonces r − t ∈ r ∗ , 1/(r + t) ∈ (r ∗ )−1 y además
s=
r−t
r+t
c) En lo que sigue supondremos que α > 0 y α no es de la forma r ∗ con r ∈ Q.
d ) Muestre que para todo racional r > 1, existe a ∈ α tal que ra ∈ α. Además, como
α no es de la forma r ∗ , entonces ra no es el mínimo de Q \ α (pues este conjunto
no tiene mínimo).
Sugerencia: Sea a ∈ α con a > 0. Observe que
a < ra < r2 a < · · · < r n a < · · ·
Use que {r n : n ∈ N} no es acotado superiormente en Q y concluya que existe n
tal que r n a ∈ α .
e) Sea 0 < s < 1 un racional y sea r = 1/s. Fije a ∈ α tal que ra ∈ α. Entonces
s = a · (ra)−1 ∈ α · α−1 .