5.11. ¿CÓMO SE CONSTRUYEN LOS REALES?
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Ejemplo 5.82. Veamos un ejemplo. Consideremos las cortaduras 2∗ y 3∗ .
2∗ = {q ∈ Q : q < 2}
y
3∗ = {q ∈ Q : q < 3}.
Mostraremos que 2∗ · 3∗ = 6∗ . Debemos mostrar dos cosas
(i) 2∗ · 3∗ ⊆ 6∗ : Sea q ∈ 2∗ · 3∗ . Hay dos casos posibles. El primero es que q ≤ 0, entonces
es claro que q < 6 y por lo tanto q ∈ 6∗ . El segundo caso es que q = xy para algún
par de racionales x, y tales que x ∈ 2∗ , y ∈ 3∗ y x, y > 0. En este caso tenemos que
0 < x < 2 y 0 < y < 3. Por lo tanto 0 < xy < 6 y esto muestra que q ∈ 6∗ .
(ii) 6∗ ⊆ 2∗ · 3∗ : Sea q ∈ 6∗ , es decir, q es un racional y q < 6. Hay dos casos a considerar.
El primero es si q ≤ 0, en este caso q ∈ 2∗ · 3∗ por definición de producto de cortaduras.
El segundo caso es cuando q > 0. Como 0 < q < 6 entonces 1 < 6 . Sea r un racional
q
1
tal que 1 < r < 6 y sea x = 2 . Entonces 0 < x < 2, es decir x ∈ 2∗ . Sea y = q · x , es
q
r
decir, y = qr/2. Como q < qr < 6, entonces qr/2 < 3, es decir y ∈ 3∗ . Finalmente es
claro que como q = xy, entonces q ∈ 2∗ · 3∗ .
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Para completar la definición de la operación de multiplicación es conveniente tener a
nuestra disposición el concepto de valor absoluto.
Definición 5.83. Sea α una cortadura
|α| =
α,
si α ≥ 0∗
−α, si α ≤ 0∗ .
Definición 5.84.
∗
si α = 0∗ o β = 0∗
0,
|α| · |β|,
si α > 0∗ y β > 0∗ o α < 0∗ y β < 0∗
α·β =
−(|α| · |β|), si α > 0∗ y β < 0∗ o α < 0∗ y β > 0∗ .
Ya el lector se habrá convencido que la construcción de los reales no es cosa sencilla. Para
finalizar, daremos la definición del inverso multiplicativo.
Definición 5.85. 1∗ = {q ∈ Q : q < 1}.
Definición 5.86. Sea α una cortadura con α = 0∗ . Si α > 0∗ , entonces
α−1 = {q ∈ Q : q ≤ 0} ∪
{1/q ∈ Q : q > 0 y q ∈ α y q no es el mínimo de {r ∈ Q : r ∈ α}}.
Si α < 0∗ , entonces
α−1 = −(|α|−1 ).