CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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El orden entre las cortaduras es muy simple de caracterizar. Recordemos que < se define
a partir de R+ de la siguiente manera: Sean α y β cortaduras
α < β, si α + (−β) ∈ R+ .
En principio esta relación < pudiera parecer compleja, sin embargo veremos a continuación
que es de hecho equivalente a una relación bien conocida entre conjuntos.
Teorema 5.79. Sean α y β cortaduras. α < β si y sólo si α ⊂ β y α = β. Además, α ≤ β
si y sólo si α ⊆ β.
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A continuación mostraremos que toda colección de cortaduras acotada superiormente
tiene supremo.
Teorema 5.80. (El axioma de completitud) Si A es una colección no vacía de cortaduras
acotada superiormente, entonces A tiene supremo.
Demostración: Sea A un colección no vacía de cortaduras y α una cota superior para A. Sea
β = {x ∈ Q : x pertenece a alguna de las cortaduras de A}.
Mostraremos que β es una cortadura y que es el supremo de A.
(i) Sea x ∈ β y y < x. De la definición de β tenemos que existe γ ∈ A tal que x ∈ γ.
Luego y ∈ γ y por lo tanto y ∈ β.
(ii) Como A no es vacío entonces β = ∅.
(iii) Sea x un racional que no pertenece a α. Veremos que x no pertenece a β. Sea γ una
cortadura en A, entonces por ser α una cota superior de A se tiene que γ ≤ α. Por
5.79 sabemos que esto significa que γ ⊆ α, por lo tanto x ∈ γ.
(iv) Sea x ∈ β y γ ∈ A tal que x ∈ γ. Entonces existe un racional y ∈ γ tal que x < y.
Como γ ∈ A y y ∈ γ, por definición de β, se tiene que y ∈ β.
(v) Es inmediato que para todo γ ∈ A, se cumple que γ ≤ β. Por lo tanto β es una cota
superior de A. Veamos que β es la menor de las cotas superiores de A. Sea δ otra cota
superior de A. Entonces γ ⊆ δ para todo γ ∈ A. Por lo tanto si x ∈ β, se tiene que
x ∈ δ, es decir, β ⊆ δ. Y por consiguiente β ≤ δ.
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La definición del producto la haremos por partes. Comenzaremos definiendo el producto
de cortaduras para las cortaduras “positivas”, es decir las cortaduras que están en R + .
Definición 5.81. Sean α y β cortadura, con α, β ∈ R+ . Definimos α · β de la siguiente
manera
α · β = {z ∈ Q : z ≤ 0} ∪
{z ∈ Q : z = xy para algún x, y con x ∈ α, y ∈ β y x, y > 0}.