5.11. ¿CÓMO SE CONSTRUYEN LOS REALES?
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Definición 5.75.
0∗ = {x ∈ Q : x < 0}.
2
Definiremos a continuación el inverso aditivo. Consideremos la siguiente cortadura
α = {q ∈ Q : q < 3}.
Observemos que
{q ∈ Q : q ∈ α} = {q ∈ Q : q ≥ 3}
y por otra parte
{q ∈ Q : q ≤ −3} = {q ∈ Q : −q ∈ α}.
Observemos que −3 es el mínimo de {q ∈ Q : q ∈ α}. Este ejemplo sugiere la definición
siguiente
Definición 5.76. Sea α una cortadura.
−α = {−q ∈ Q : q ∈ α y q no es el elemento mínimo de {r ∈ Q : r ∈ α}}.
2
Ejemplo 5.77. Veamos un ejemplo:
α = {r ∈ Q : r < −4}.
Usando la notación introducida anteriormente, α es igual a (−4)∗ . Determinaremos a continuación −α. Primero notemos que
{r ∈ Q : r ∈ α} = {r ∈ Q : r ≥ −4}.
Observemos que el mínimo de este conjunto es −4, de modo que
−α = {q ∈ Q : −q ≥ −4 & − q = −4}
es decir
−α = {q ∈ Q : q < 4}.
2
Podemos ahora definir R+ el conjunto de cortaduras que representarán los números reales
positivos.
Definición 5.78.
R+ = {α : α es una cortadura que contiene algún racional positivo}.