CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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denotar cortaduras y las letras latinas mayúsculas (A,B, C, ...) para denotar colecciones de
cortaduras.
La definición de número real que damos a continuación es el concepto mas complejo
tratado en estas notas.
Definición 5.72.
R = {α : α es una cortadura}.
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Ahora veremos cómo definir las operaciones de suma y multiplicación de cortaduras y la
relación de orden. Pero antes de hacerlo, observemos que de la definición de cortadura se
obtiene naturalmente la noción de igualdad: Dos cortaduras α y β son iguales si α ⊆ β y
β ⊆ α.
Definición 5.73. Sean α y β cortaduras.
α + β = {p + q : p ∈ α y q ∈ β}.
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Para ilustrar cómo se trabaja con las cortaduras verificaremos a continuación que α + β
es una cortadura.
Proposición 5.74. Sean α y β cortaduras. Entonces α + β es una cortadura.
Demostración: Veamos que α+β satisface las cuatro condiciones que definen a una cortadura.
(i) Supongamos que y < x son racionales y x ∈ α + β. Entonces x = p + q con p ∈ α y
q ∈ β. Luego y < p + q, y por lo tanto y − q < p. Como α es una cortadura, entonces
y − q ∈ α. De esto se obtiene que y = p + (y − p) pertenece a α + β.
(ii) Como α y β son conjuntos no vacíos, entonces α + β = ∅.
(iii) Sean x, y racionales tales que x ∈ α y y ∈ β. Notemos que para todo a ∈ α se cumple
que a < x (si para algún a en α no se tuviera que a < x, entonces x ≤ a y por la
condición (i) de 5.70 tendríamos que x ∈ α). De manera similar tenemos que para todo
b ∈ β se tiene que b < y. Luego a + b < x + y para todo a en α y todo b en β. Por lo
tanto x + y no se puede escribir como a + b con a en α y b en β, esto es, x + y no está
α + β.
(iv) Sea p + q en α + β con p en α y q en β. Por ser α y β cortaduras, existen p en α y q
en β tales que p < p y q < q . Por lo tanto p + q < p + q y claramente p + q está en
α + β.
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Ahora definiremos el cero. Para no confundirlo con el cero de Q, lo denotaremos por 0 ∗ .
La definición es muy natural.