5.11. ¿CÓMO SE CONSTRUYEN LOS REALES?
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(i) Si q ∈ α y r es un número racional con r < q, entonces r ∈ α.
(ii) α = ∅.
(iii) α = Q.
(iv) No existe ningún elemento máximo en α; es decir, si q ∈ α, entonces existe r ∈ α tal
que q < r.
Ejemplo 5.71. Un ejemplo sencillo de cortadura es el siguiente
α = {q ∈ Q : q < 4}.
En efecto, verifiquemos las cuatro condiciones que definen una cortadura
(i) De la definición del conjunto α se concluye inmediatamente que si q ∈ α y r < q,
entonces r ∈ α.
(ii) α = ∅ pues por ejemplo 3 ∈ α.
(iii) 5 ∈ α luego α = Q.
(iv) Si q < 4, entonces q <
q+4
2
< 4. Por consiguiente, α no tiene máximo.
2
El ejemplo anterior sugiere una manera de definir cortaduras. Dado un racional cualquiera
r definimos
r∗ = {q ∈ Q : q < r}.
Dejamos como ejercicio al lector verificar que para todo racional r el conjunto r ∗ es una
cortadura (ver ejercicio 1). La cortadura r ∗ “representará” al racional r. Pero hay muchas
otras cortaduras que no son de esa forma.
La condición (iv) en la definición de cortadura se necesita para evitar ambigüedades. Por
ejemplo
{q ∈ Q : q < 1}
{q ∈ Q : q ≤ 1}
podrían ambos representar al número 1. Otro ejemplo mas interesante de cortadura es el
siguiente:
α = {q ∈ Q : q ≤ 0 ó q > 0 y q 2 < 2}.
Es fácil ver que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la definición de cortadura son satisfechas
por α. La condición (iv) requiere de un poco mas de trabajo que dejamos como ejercicio (ver
√
ejercicio 2). Esta cortadura representa a 2.
Trabajaremos con diferentes objetos: números racionales, cortaduras (conjuntos de números
racionales) y eventualmente también con colecciones de cortaduras (es decir, colecciones de
conjuntos de racionales). Para evitar confusiones, usaremos las letras minúsculas del alfabeto latino (p, q, r,...) para denotar racionales, las del alfabeto griego (α, β, γ, ...) para