CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Para motivar la definición de suma y multiplicación de las clases de equivalencia recordemos
la manera usual de sumar y multiplicar fracciones. Por ejemplo,
1·5+3·3
1 3
+ =
2 5
2·5
y
1·3
1 3
· =
.
2 5
2·5
Este ejemplo sugiere la siguiente definición:
[(m, n)] + [(p, q)]
[(m, n)]
·
[(p, q)]
def
=
[(m · q + n · p, n · q)]
def
[(m · p, n · q)].
=
Debemos también definir el elemento neutro de la suma y de la multiplicación. Claramente
0
el 0 de Q corresponde a las fracciones de la forma n y el 1 de Q corresponde a las fracciones
m
de la forma m . Esto sugiere la siguiente definición:
0
1
def
=
def
=
[(0, 1)]
[(1, 1)].
Ahora debemos dar la definición de los inversos aditivos y multiplicativos.
−[(m, n)]
def
([(p, q)])−1
def
=
=
[(−m, n)]
[(q, p)]
donde [(p, q)] = 0, es decir, p, q = 0. Por último definimos los racionales positivos Q + .
Q+
def
=
{[(m, n)] : m · n > 0}.
Queda por verificar que los postulados P1,..., P12 se satisfacen. Esta es una tarea un poco
tediosa y no la haremos. Lo que pretendíamos al presentar la construcción de Q era simplemente mostrarle al lector el método usado en Matemáticas para formalizar de manera lógica
el concepto de número