5.11. ¿CÓMO SE CONSTRUYEN LOS REALES?
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Cada fracción m la “identificaremos” con el par (m, n) de Z × (Z \ {0}). La noción de fracción
n
equivalente nos da un relación de equivalencia en Z × (Z \ {0}). En efecto, definimos la
relación binaria ∼ de la manera siguiente: Sean (m, n), (p, q) ∈ Z × (Z \ {0})
def
(m, n) ∼ (p, q) ⇔ mq = np.
(5.8)
Por ejemplo: (1, 2) ∼ (3, 6), (−3, 4) ∼ (3, −4), (4, 2) ∼ (2, 1).
La relación ∼ es una relación de equivalencia sobre Z × (Z \ {0}). Es decir, ∼ es reflexiva,
simétrica y transitiva. En efecto,
(i) es obvio que (m, n) ∼ (m, n) para todo (m, n) ∈ Z × (Z \ {0}) y por lo tanto ∼ es una
relación reflexiva.
(ii) Si (m, n) ∼ (p, q), entonces mq = np. Luego pn = qm y por lo tanto (p, q) ∼ (m, n).
Es decir, ∼ es simétrica.
(iii) Supongamos que (m, n) ∼ (p, q) y además que (p, q) ∼ (r, s). Entonces tenemos que
mq = np y ps = qr. Multiplicando la primera igualdad por s y la segunda por n
obtenemos que mqs = nps y nps = nqr. En consecuencia mqs = nqr. Como q = 0 (¿por
qué?), entonces podemos cancelar q y obtenemos ms = nr, es decir, (m, n) ∼ (r, s).
Esto muestra que ∼ es transitiva.
La relación de equivalencia ∼ parte al conjunto Z × (Z \ {0}) en clases de equivalencia.
Por ejemplo, la clase de equivalencia del par ordenado (1, 2) es
[(1, 2)] = {(m, n) ∈ Z × (Z \ {0}) : (1, 2) ∼ (m, n)}
= {(m, n) ∈ Z × (Z \ {0}) : n = 2m}
= {(m, n) ∈ Z × (Z \ {0}) : m = 1 }.
n
2
Vemos entonces que la clase de equivalencia de (1, 2) corresponde a la colección de todas las
fracciones equivalentes a 1 . Ahora podemos dar una definición más precisa de los números
2
racionales
Definición 5.69. Los números racionales son el conjunto cociente dado por la relación ∼
sobre el conjunto Z × (Z \ {0}) definida en 5.8. En símbolos,
def
Q = Z × (Z \ {0})/ ∼ .
En otras palabras, un número racional es una clase de equivalencia con respecto a ∼. Por
1
esta razón decimos que las fracciones 2 y 3 representan al mismo número racional, pues son
6
representantes de la misma clase de equivalencia.
Para completar la construcción de Q debemos definir las operaciones de suma y multiplicación. Teniendo presente que el par ordenado (m, n) representa la fracción m es fácil
n
imaginar cuales son las definiciones correctas. Ya que un número racional es una clase de
equivalencia, la suma y la multiplicación deben estar definidas entre clases de equivalencia.