CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Ejercicios 5.10
1. Ordene de manera creciente (no necesariamente estricta) los siguientes conjuntos de
acuerdo a su cardinalidad.
a) N.
b) Z.
c) P(N).
d ) {n ∈ N : n divide a 1.567.344.987.678.333}.
e) {q ∈ Q : Existe un entero m tal que 5m + 1 < q < 5m + 2}.
f ) Q × Z.
g) Q5 .
h) QQ .
i ) P(P(N)).
j ) P(P(Z)).
k ) P(P(P(N))).
5.11.
¿Cómo se construyen los reales?
En esta sección comentaremos cómo se construyen matemáticamente los números reales.
Para apreciar mejor las ideas que presentaremos nos parece conveniente mostrar primero la
construcción de los racionales. Toda construcción parte necesariamente de alguna “materia
prima”. En nuestro caso, para construir los racionales, usaremos como materia prima los
números enteros. Después, para construir los reales usaremos como materia prima a los
racionales.
5.11.1.
Construcción de Q.
La definición que hemos usado de número racional dice que un racional es una expresión
de la forma m donde n y m son enteros con n = 0. Por otra parte, sabemos que dos fracciones
n
3
diferentes pueden representar al mismo número racional, por ejemplo, 6 y 1 son fracciones
2
equivalentes y representan al mismo número (¿cuál?) La construcción de Q que daremos se
basa en la idea de fracciones equivalentes.
Consideremos el conjunto de pares ordenados
{(m, n) : n, m ∈ Z, n = 0}.
Este conjunto es precisamente
Z × (Z \ {0}).