5.10. EL TEOREMA DE CANTOR
5.10.
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El teorema de Cantor
Ya hemos visto que existen conjunto infinitos que no son equipotentes. Por ejemplo: N y
R. El próximo teorema nos dice que existen muchos mas ejemplos. Este resultado tuvo una
enorme repercusión sobre la concepción del infinito en matemáticas.
Teorema 5.66. (Cantor) Sea A un conjunto, entonces |A| < |P(A)|.
Demostración: Primero observemos que |A| ≤ |P(A)|. En efecto, considere la función f :
A → P(A) dada por
f (a) = {a}
para a ∈ A. Es obvio que f es inyectiva.
Para ver que |A| = |P(A)|, mostraremos que ninguna función g : A → P(A) puede ser
sobreyectiva. Sea entonces g : A → P(A). Definimos
B = {a ∈ A : a ∈ g(a)}.
Veremos que B no está en el rango de g. Supongamos que estuviera, y sea a ∈ A tal que
g(a) = B. Entonces tenemos que
a ∈ B ⇔ a ∈ g(a) ⇔ a ∈ B.
Y esto es absurdo. Por lo tanto la suposición de que B estaba en el rango de g es imposible.
En consecuencia, g no es sobreyectiva.
2
Del teorema de Cantor inmediatamente obtenemos el siguiente resultado que dice que
P(N) no es numerable.
Corolario 5.67. P(N) no es numerable.
2
Observemos lo siguiente
|N| < |P(N)| < |P(P(N))| < |P(P(P(N)))|.
Esto muestra que estos conjuntos son de un tamaño infinito cada vez mayor.
Ejemplo 5.68. Consider R