CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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Definimos f : P(N) → R de la siguiente manera
f (A) = el número real cuya expansión decimal viene dada por
la sucesión a0 , a1 , a2 , · · · , an · · · , definida arriba.
Mostraremos que f es inyectiva. Sean A, B dos subconjuntos de N diferentes. Ya que A B =
∅, denotaremos con m al primer natural que pertenece a A B. Observe que para todo i < m
se tiene que
i ∈ A ⇔ i ∈ B.
(5.6)
Tenemos que considerar dos casos: m ∈ A − B ó m ∈ B − A. Los dos casos son análogos
y analizaremos sólo uno de ellos. Supongamos entonces que m ∈ A − B. Para simplificar la
notación llamaremos r al número real f (A) y s a f (B). Mostraremos que r = s. Sea a n y
bn los dígitos correspondientes a la representación decimal de f (A) y f (B) respectivamente.
Entonces para todo i < m se cumple que
ai = 0 ⇔ bi = 0.
(5.7)
Definimos un racional q de la siguiente manera
q = 0, a0 , a1 a2 · · · , am .
Observe que am = 1 y bm = 0. Por (5.7) sabemos que
s