5.9. ¿CUÁL ES EL TAMAÑO DE R?
5.9.
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¿Cuál es el tamaño de R?
En esta sección daremos algunas indicaciones para mostrar la siguiente afirmación
|R| = |P(N)|.
(5.5)
Es decir, que hay tantos números reales como subconjuntos de N. Para demostrar esta
igualdad bastaría mostrar (gracias al teorema de Schröder-Bernstein) que
|R| ≤ |P(N)| y |P(N)| ≤ |R|.
La primera desigualdad no es difícil de probar. Para la segunda usaremos la representación
decimal de los números reales, que aunque no la hemos desarrollado en este curso el lector
la conoce al menos de manera intuitiva.
Ya vimos en el ejemplo 5.57 que
P(N) ≈ NN
es decir, hay tantos subconjuntos de N como funciones de N en N. Entonces (5.5) dice que
hay tantos números reales como funciones de N en N. Esto es hasta cierto punto bastante
intuitivo, pues cada número real se puede expresar en forma decimal, es decir, como un entero
seguido de un sucesión (posiblemente) infinita de números naturales. Esta representación
sugiere que existe una relación natural entre números reales y funciones de N en N.
Mostraremos a continuación que el tamaño de R no sobrepasa el tamaño de P(N).
Teorema 5.65. |R| ≤ |P(N)|.
Demostración: Hemos visto que |N| = |Q| y también sabemos que |P(Q)| = |P(N)| (ver el
ejercicio 8 de §5.2). Así que basta mostrar que |R| ≤ |P(Q)|. Definimos f : R → P(Q) de la
manera siguiente:
f (r) = {q ∈ Q : q < r}.
Mostraremos que f es inyectiva. En efecto, sean r, r ∈ R dos reales cualesquiera con r = r .
Podemos suponer que r < r (el otro caso se analiza de manera análoga). Por la densidad
de Q en R existe un racional q tal que r < q < r . Por lo tanto q ∈ f (r ) pero q ∈ f (r). En
consecuencia f (r) = f (r ).
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La otra desigualdad, |P(N)| ≤ |R|, es un poco más difícil de mostrar. Tenemos que asociar
a cada subconjunto de N un número real. Para lograr ésto usaremos la representación decimal
de los número reales. Tomemos un número real r tal que 0 ≤ r ≤ 1. La representación
decimal de r es una sucesión an de enteros no negativos que usualmente se escribe de la
manera siguiente
0, a0 , a1 a2 · · · , an , · · ·
A cada subconjunto A ⊆ N le asociamos la siguiente sucesión
an =
1 , si n ∈ A
0 , si n ∈ A.