5.8. R NO ES NUMERABLE
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Continuando con la discusión sobre la cardinalidad de A, considere para cada p ∈ Q[x]
el conjunto
Rp = {r ∈ R : p(r) = 0}.
Es decir, Rp consiste de las raíces de p. Como cada polinomio de grado n tiene a lo sumo n
raíces, tenemos que para cada polinomio p el conjunto Rp es finito. Es fácil convencerse que
A=
Rp .
p∈Q[x]
Luego como Q[x] es numerable y cada Rp es finito entonces |A| ≤ |N|. Pero ya vimos antes
que |N| ≤ |A|. Por lo tanto A es numerable.
El hecho que A es numerable y que R no lo es garantiza que R \ A tampoco es numerable.
En efecto, razonando indirectamente, vemos que si R \ A fuese numerable, entonces R =
(R \ A) ∪ A también lo sería (por ser la unión de dos conjuntos numerables) y esto es una
contradicción. Con esto hemos mostrado que existen reales que no son algebraicos.
Los reales que pertenecen a R \ A se llaman trascendentes. Vemos entonces que hay más
reales trascendentes que algebraicos. ¿Puede el lector dar un ejemplo de un real trascendente?
Esta pregunta no es sencilla. El matemático francés Joseph Liouville (1809-1882) fué quien
por primera vez mostró que existían números trascendentes (el argumento que dimos arriba,
basado en la cardinalidad de los conjuntos, se debe a Cantor y es posterior). Algunos ejemplos
de números transcendentes son e y π. Entre los que consigió Liouville tenemos el siguiente:
0, 101001000000100000000000000000000000010 · · · 10 · · ·
Donde el número de ceros entre dos unos consecutivos es n!.
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Ejercicios 5.8
1. Considere la siguiente colección {In }n∈N de intervalos cerrados:
3n + 1 3n + 4
,
2n + 2 2n + 2
In =
para cada n ∈ N. Halle el real z tal que
n∈N
In = {z}.
2. Considere los siguientes conjuntos donde n ∈ N:
An = −
1
1
,
n+1 n+1
∪
1−
1
1
.
, 1+
n+1
n+1
Muestre que
n∈N
An = {0, 1}.