CAPÍTULO 5. CARDINALIDAD
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5.8.1.
Algunos subconjuntos de R que tampoco son numerables
El siguiente resultado muestra que existen muchos más números irracionales que racionales.
Teorema 5.63. El conjunto de los números irracionales no es numerable.
Demostración: En efecto, supongamos por reducción al absurdo que I es numerable. Como
R = Q ∪ I, entonces R es numerable, al ser la unión de dos conjuntos numerables. Y esto es
un contradicción.
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En algunas circunstancias el conocer la cardinalidad de un conjunto da indirectamente
información interesante sobre el conjunto. Ilustraremos lo que acabamos de decir con un
ejemplo.
Ejemplo 5.64. (Números algebraicos y trascendentes) Un número real r se dice que es
algebraico, si existe un polinomio p(x) con coeficientes racionales tal que p(r) = 0. En
otras palabras, los números algebraicos son aquellos √
números reales que son una raíz de un
polinomio con coeficientes racionales. Por ejemplo, 2 es algebraico, pues es una raíz de
√
√
x2 − 2. De igual forma 3 5 también es algebraico. El lector se puede convencer que n q es
algebraico para todo racional positivo q y todo natural n ≥ 2.
Sea A la collección de todos los números reales algebraicos. Ya dijimos que Q ⊆ A y que
también A contiene números irracionales.
Ahora bien, ¿cuál es la cardinalidad de A?, ¿Es A = R? Daremos algunas indicaciones
de cómo responder estas preguntas. Consideremos el siguiente conjunto
Q[x] = {p : p es un polinomio con coeficientes en Q}.
El conjunto Q[x] es numerable. La idea para mostrar esto último es la siguiente. Considere
los conjuntos
Qn [x] = {p ∈ Q[x] : p es un polinomio de grado menor o igual a n}.
Tenemos entonces que
Q[x] =
Qn [x].
n
Bastaría entonces mostrar que cada Qn [x] es numerable. Por ejemplo, para ver que Q2 [x] es
numerable, observemos que un polinomio p ∈ Q2 [x] tiene la forma
p(x) = a + bx
con a, b ∈ Q. Ahora bien, notemos que si (a, b) = (a , b ), entonces los polinomios a + bx y
a + b x son diferentes. Por lo tanto tenemos que la función
(a, b) → a + bx
es biyectiva. Esto muestra que Q2 [x] es numerable. De manera similar se puede mostrar que
Qn [x] también es numerable.