5.8. R NO ES NUMERABLE
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Sea A el siguiente conjunto
A = {bn : n ∈ N}.
De (5.4) se tiene que cada an es una cota inferior de A. Por consiguiente A tiene ínfimo,
sea z el ínfimo de A. Por la misma razón tenemos que an ≤ z para todo n. Por lo tanto
an ≤ z ≤ bn . Esto muestra que z ∈ In para todo n.
Falta mostrar que z es el único elemento de n In . Supongamos que no es así y sea w
otro real tal que w ∈ In para todo n. Por lo tanto para todo n la longitud de In es mayor o
igual que |z − w|. Pero esto contradice la hipótesis (ii).
2
También necesitaremos el siguiente resultado.
Lema 5.62. Sea F ⊆ R un conjunto finito, I un intervalo cerrado y n un natural con n ≥ 1.
Entonces existe un intervalo cerrado J ⊆ I tal que F ∩ J = ∅ y la longitud de J es menor
1
que n .
Demostración: Sea I = [a, b], F = {c1 , c2 , · · · , cm } un conjunto finito y n ≥ 1. Podemos
suponer que a ≤ c1 < c2 < · · · < cm ≤ b (¿por qué?). Entonces escojamos a , b tales que
1
c1 < a < b < c2 y además b − a < n . Sea J = [a , b ]. Dejamos como ejercicio verificar que
J satisface la conclusión del lema.
2
(Segunda demostración de que R no es numerable) Sea f : N → R un función
cualquiera. Mostraremos que f no es sobreyectiva construyendo un real z que no está en el
rango de f .
Definiremos una sucesión de intervalos cerrados In tales que
(i) f (n) ∈ In para todo n.
(ii) In+1 ⊆ In para todo n.
(iii) La longitud de In es menor que
1
.
n+1
Sea I0 un intervalo cerrado tal que f (0) ∈ I0 y la longitud de I0 es menor que 1. Supongamos que hemos definido Ik para todo k ≤ n tal que (i), (ii) y (iii) se cumplen. Por el lema
5.62 sabemos que existe un intervalo cerrado J ⊆ In tal que f (n + 1) ∈ J y la longitud de J
1
es menor que n+1 . Sea In+1 = J.
El lector debe convencerse que esta sucesión de intervalos cerrados satisface las hipótesis
del FV